กำเนิดและวิวัฒนาการของจักรวาล#3 ความสัมพันธ์ระหว่างกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์กับกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

ไอแซก นิวตัน (Isaac Newton; 1641-1725) เป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษและ “นักปรัชญาธรรมชาติ” ในยุคนั้นเขามีบทบาทสำคัญในการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ทำให้มีความก้าวหน้าด้านฟิสิกส์ดาราศาสตร์คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติอย่างมาก คำว่า “นิวโตเนียน (Newtonian)” ถูกใช้โดยคนรุ่นต่อๆมาเพื่ออธิบายถึงองค์ความรู้จากทฤษฎีของไอแซค นิวตัน ผู้ซึ่งได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักวิชาการผู้มีอิทธิพลมากที่สุดในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ในช่วงสามศตวรรษต่อมา 

นิวตันได้เขียนหนังสือ “Mathematical Principles of Natural Philosophy” (หลักการทางคณิตศาสตร์ของปรัชญาธรรมชาติ) ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1687  อันเป็นรากฐานสำหรับกลศาสตร์ดั้งเดิมหรือกลศาสตร์คลาสสิก (classical mechanics) ในนั้นเขาได้ประกาศกฎการเคลื่อนที่สามข้อ (Newton’s laws of motion) และกฎความโน้มถ่วงสากล (Newton’s law of universal gravitation)

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 17 โยฮันเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) นักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้ตีพิมพ์กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ (Kepler’s laws of planetary motion) ซึ่งบรรยายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ด้วยสมการคณิตศาสตร์ที่ใช้ข้อมูลการสังเกตุการณ์มาวิเคราะห์ แต่เคปเลอร์ไม่ได้อธิบายถึงสาเหตุที่ทำให้ดาวเคราะห์เคลื่อนที่อย่างนั้น แปดสิบปีต่อมา ไอแซก นิวตัน เป็นผู้มาอธิบาย ก่อนหน้านั้นเชื่อกันว่ามีกฏทางฟิสิกส์ชุดหนึ่งที่ใช้กับโลก และอีกชุดหนึ่งใช้กับดวงจันทร์ ดาวเคราะห์ และดาวฤกษ์ แต่นิวตันระบุว่ามีกฎทางฟิสิกส์เพียงชุดเดียวที่ใช้ได้ทุกที่ทั้งบนโลกและจักรวาล แรงที่ทำให้แอปเปิลหล่นสู่พื้นดินเป็นแรงเดียวกันกับที่ทำให้ดวงจันทร์โคจรรอบโลกและดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ นิวตันได้ประกาศกฎการเคลื่อนที่สามข้อ (Newton’s laws of motion) และกฎความโน้มถ่วงสากล (Newton’s law of universal gravitation) ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ขนาดของแรงโน้มถ่วง มวล ระยะทาง และเวลา นิวตันใช้กฎทั้งสองอธิบายสาเหตุที่ทำให้ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ และในยุคต่อมาสามารถใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเทียม

ความสัมพันธ์ระหว่างกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์กับกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

Kepler’s first law of planetary motion : เคปเลอร์ระบุในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ข้อที่ 1 ว่า “ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี และดวงอาทิตย์ไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของวงโคจร แต่อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่ง”

astro.wsu.edu

นิวตันนำกฎการเคลื่อนที่ข้อแรก (Newton’s first law of motion) และกฎความโน้มถ่วงสากล (Newton’s law of universal gravitation) มาอธิบายสาเหตุที่วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงรีว่าเป็นผลมาจากปัจจัย 2 ตัว คือ ความโน้มถ่วง (gravity) และความเฉื่อย (inertia) ซึ่งจะทำงานร่วมกัน

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตันหรือกฎของความเฉื่อย  ” วัตถุจะพยายามรักษาสภาพหยุดนิ่งหรือรักษาสภาพการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางเดิม เว้นแต่จะมีแรงภายนอกมากระทำ “

และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ” ขนาดของแรงโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับมวลและระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสอง ” เนื่องจากดวงอาทิตย์มีมวลมากที่สุดจึงมีแรงโน้มถ่วงมากกว่า สามารถดึงดาวเคราะห์ที่กำลังเคลื่อนที่ผ่านเข้าหาดวงอาทิตย์ ในขณะเดียวกันดาวเคราะห์ซึ่งมีความเฉื่อยก็พยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่

การหักล้างกันระหว่างความโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ที่พยายามดึงดาวเคราะห์เข้าหามัน และความเฉื่อยของดาวเคราะห์ที่พยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ทำให้วงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นรูปวงรีและความเร็วในการโคจรไม่คงที่ (ดูภาพข้างล่างประกอบซึ่งแสดงวงโคจรรูปวงรีของดวงจันทร์รอบโลก สามารถใช้อธิบายในลักษณะเดียวกัน) 

superstarfloraluk.com

Martin Jensen – Solo Dance (Youtube)

Kepler’s second law of planetary motion : เคปเลอร์ระบุในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ข้อที่ 2 ว่า “เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ไปยังจุดศูนย์กลางของดาวเคราะห์จะกวาดพื้นที่ที่เท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน”

เคปเลอร์ระบุในกฎข้อที่สองของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ว่า  ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ขณะโคจรรอบดวงอาทิตย์ด้วยความเร็วไม่คงที่ ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ช้าที่สุดที่ตำแหน่ง aphelion ซึ่งเป็นจุดบนวงโคจรของดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากที่สุด และดาวเคราะห์จะเคลื่อนที่เร็วที่สุดที่จุด perihelion ซึ่งเป็นจุดบนวงโคจรที่ใกล้กับดวงอาทิตย์มากที่สุด

slideplayer.com

mrhamel.com

สำหรับโลกเราซึ่งมีวงโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี ปรากฎว่าโลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์เร็วกว่าจุดอื่นๆเล็กน้อยในช่วงฤดูหนาวของซีกโลกเหนือซึ่งเป็นช่วงเดือนธันวาคมถึงมกราคม (ดูภาพข้างบนประกอบ)

นิวตันมาอธิบายโดยด้วยสมการในกฎความโน้มถ่วงสากล (Newton’s law of universal gravitation) ที่ว่า แรงดึงดูดระหว่างมวล (F) มีขนาดเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของมวลทั้งสอง (m₁ x m₂) และเป็นสัดส่วนผกผันกับค่ากำลังสองของระยะห่างระหว่างกัน (r²) 

pinterest.com

นิวตันอธิบายว่าเนื่องจากดวงอาทิตย์มีมวลมากที่สุดจึงมีแรงโน้มถ่วงมากที่สุด สามารถดึงดูดดาวเคราะห์เข้าหาและโคจรรอบดวงอาทิตย์ และขนาดของแรงดึงดูดระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์จะลดน้อยลงหรือเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของระยะห่างจากดวงอาทิตย์ การที่ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่อเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ นิวตันอธิบายด้วยสมการข้างบนว่าเนื่องจากมวลของดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์เท่าเดิมในขณะที่ระยะทางสั้นลง ส่งผลให้แรงดึงดูดระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์มีมากขึ้นเมื่ออยู่ใกล้กัน ทำให้ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วขึ้น 

Nick Jonas – Close ft. Tove Lo

Kepler’s third law of planetary motion : เคปเลอร์ระบุในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ข้อที่ 3 ว่า “ยกกำลังสองของระยะเวลาในการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ (T²) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของครึ่งหนึ่งของความยาววงรีของวงโคจร (elliptical semi-major axis), (R³)” —>  T²  ∝ R³

calctool.org

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์จะเป็น “การเปรียบเทียบ” ช่วงเวลาที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ (orbital period, T) และรัศมีการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ (elliptical semi-major axis or orbital radius, R) ” ระหว่างดาวเคราะห์กับดาวเคราะห์ดวงอื่น” ซึ่งแตกต่างจากกฎข้อที่หนึ่งและข้อที่สองของเคปเลอร์ที่อธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ดวงเดียว 

เมื่อพิจารณาระยะเวลาการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ (orbital period, T) และระยะทางเฉลี่ยจากดวงอาทิตย์หรือรัศมีการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ (orbital radius, R) สำหรับโลกและดาวอังคาร จะพบว่าอัตราส่วนของ T²/R³ ของโลกและดาวอังคารจะเท่ากัน

ข้อมูลแสดงการเปรียบเทียบอัตราส่วนของ T²/R³ สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวง จะพบว่าเท่ากันหมด

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ให้คำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับระยะเวลาและระยะทางสำหรับการโคจรรอบดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ สรุปได้ว่า 

T²  ∝ R³  และ  T²/R³ = ค่าคงที่

มีปัญหาสองข้อเกี่ยวกับความสัมพันธ์นี้ ประการแรก-เคปเลอร์ไม่รู้ว่าอะไรเป็นสาเหตุของความสัมพันธ์นี้ ประการที่สอง-ความสัมพันธ์ที่เคปเลอร์ได้จากสมการของเขาไม่สามารถนำไปใช้ได้กับวัตถุที่ไม่ได้โคจรรอบดวงอาทิตย์ ตัวอย่างเช่น ดวงจันทร์ที่โคจรรอบโลก

ไอแซก นิวตัน แก้ไขปัญหาทั้งสองนี้ด้วยทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของเขาและค้นพบว่ามีมวลของวัตถุในวงโคจร (M) เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย นิวตันได้พัฒนากฎข้อที่สามของเคปเลอร์ให้สามารถนำไปใช้ในการคำนวณมวลของวัตถุในจักรวาล (M) สมการของนิวตันคือ

T² = 4 ¶² R³ / G (M₁ + M₂)  โดย G คือค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากล (6.674×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²)

ดังนั้นเมื่อเรารู้ T และ R เราจะสามารถคำนวณหามวลของวัตถุต่างๆ (M) ในจักรวาลได้  Thanks! Kepler & Newton!

seasky.org

ยกตัวอย่างเช่น โฟบอส (Phobos) เป็นดวงจันทร์ขนาดเล็กของดาวอังคาร โฟบอสโคจรรอบดาวอังคารด้วยระยะทางเฉลี่ยประมาณ 9380 กม. และระยะเวลาการหมุนรอบ 7 ชั่วโมง 39 นาที เรานำข้อมูลนี้มาคำนวณมวลของดาวอังคารโดยใช้สมการของนิวตันที่พัฒนามาจากสมการของเคปเลอร์ได้ดังนี้

R = 9380 km หรือ 9.38 x 10⁶ m

T = 7 hr 39 min หรือ 2740 sec

นำมาแทนค่าในสูตร   T² = 4 ¶² R³ / G (M₁ + M₂)

และเนื่องจากมวลของดาวอังคาร (M₁) ใหญ่กว่ามวลของดวงจันทร์โฟบอส (M₂) มากๆ ดังนั้นเราสามารถละเลยมวลของดวงจันทร์โฟบอสได้ (M₂ = 0)

ดังนั้นมวลของดาวอังคาร = 6.44 x 10²³ kg

สรุปได้ว่า จากสมการ   T² = 4 ¶² R³ / G (M₁ + M₂)  สามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้     T² = 4 ¶² R³ /GM 

• Facebook
• Twitter
• Line